Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan distribusi variabel diskrit yang paling sering digunkan (Karseno,1994). Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
Percobaannya terdiri dari n ulangan.
Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.
Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-berubah.
Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain (Walpole, 1992). Saling bebas berarti tidak ada pola pada percobaan-percobaan itu. Hasil dari sebuah percobaan tidak mempengaruhi percobaan yang lain.
Bila dalam suatu percobaan pengambilan kartu merah, kartu tersebut tidak dikembalikan ke dalam tumpukan kartu sebelum pengambilan berikutnya, maka peluang keberhasilan dalam setiap ulangan akan berubah; karena peluang terambilnya kartu merah pada pengambilan pertama adalah ½, sedangkan pada pengambilan yang kedua peluang itu bersifat bersyarat, bernilai "26" ⁄"51" atau "26" ⁄"51" bergantung pada hasil pengambilan pertama. Bila demikian percobaan ini bukan lagi percobaan binom. Ciri-ciri lain dari distribusi binomial adalah variabel acak merupakan hasil dari perhitungannya, artinya kita menghitung jumlah kejadian sukses dari sejumlah percobaan (Lind,2007). Misalnya memilih 10 pekerja dan menghitung jumlah pekerja yang berumur 40 tahun ke atas.
Perhatikan sebuah percobaan binom berupa pelemparan sekeping uang logam sebanyak tiga kali, dan dikatakan “berhasil” bila yang muncul sisi gambar. Maka banyaknya keberhasilan dapat dipandang sebagai peubah acak X yang mengambil nilai bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan kemungkinan hasil berikut nilai X-nya adalah
Hasil Percobaan x
AAA
AGA
AAG
GAA
AGG
GAG
GGA
GGG 0
1
1
1
2
2
2
3

Karena ulangan satu dengan lainnya bebas dan masing-masing memiliki peluang keberhasilan yang tetap sebesar ½, maka P(GAG) = P(G)P(A)P(G) = (½) (½) (½) = ⅛. Begitu pula setiap kemungkinan hasil percobaan lainnya juga terjadi dengan peluang sebesar ⅛. Dengan demikian, sebaran peluang bagi X adalah
x 0 1 2 3
P(X = x) ⅛ ⅜ ⅜ ⅛
atau dengan rumus
"f" ("x" )"= " (("3" ¦"x" ))/"8" ", untuk x=0,1,2,3"
Peubah X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan suatu percobaan binom disebut peubah acak binom (Walpole, 1992). Distribusi peluang bagi peubah acak diskrit ini disebut distribusi binom, dan nilai-nilainya dilambangkan dengan b(x; n, p), karena nilai-nilai ini bergantung pada banyaknya ulangan dan peluang keberhasilan pada suatu ulangan.
Suatu percobaan yang terdiri dari dua hasil yang mungkin, katakanlah A dan bukan A (Ā) dengan P(A) = P dan P(Ā) = 1 – P, berharga tetap dalam setiap percobaan, maka percobaan itu disebut percobaan Bernouli (Muttaqin, 1997). Jika percobaan Bernouli dilakukan sebanyak n kali secara independen, x diantaranya menghasilkan kejadian A dan sisanya (n – x) kejadian Ā, maka peluang terjadinya A sebanyak X = x kali dari n percobaan dinyatakan oleh rumus:




dengan
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1


Secara umum, jumlah titik sampel yang mungkin untuk menghasilkan x sukses dan n – x gagal dalam n percobaan adalah banyaknya cara yang berbeda dalam mendistribusikan x sukses dalam barisan n percobaan, sehingga terdapat ("n" ¦"x" ) cara. Di sini ("n" ¦"x" ) dibaca “n memilih x”, adalah koefisien binomial (Gonnick, 2002). Setiap urutan keberhasilan x dan n – x kegagalan memiliki probabilitas "P" ^"x" 〖"(1-P)" 〗^"n-x" , dengan menggunakan aturan perkalian. Cara lain untuk melihat koefisien binomial adalah melalui segitiga Pascal. Setiap angka adalah penjumlahan dua angka di atasnya. Untuk menemukan ("n" ¦"x" ), cukup urutkan ke bawah sampai baris n dan geser ke isian ke-x (ingatlah untuk selalu menghitung dari nol).
Distribusi binom mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa ke-(n + 1) suku dalam penguraian binom "(" 〖"q+p)" 〗^"n" ternyata merupakan berbagai nilai dari b(x;n,p) untuk x = 0, 1, 2, ..., n. Perhatikan bahwa



Distribusi binomial untuk x = 1, 2, ..., n berkaitan dengan perkalian binomial. Karena p + q = 1, maka diperoleh ∑_"x=0" ^"n" ▒"b(x;n,p) = 1" , suatu syarat yang harus berlaku untuk distribusi peluang apapun.
Misalkan hasil pada ulangan ke-j dinyatakan oleh peubah acak Ij, yang bernilai 0 dan 1, masing-masing dengan peluang q dan p. Ini disebut peubah Bernoulli atau mungkin lebih tepat peubah indikator, karena Ij = 0 berarti kegagalan dan Ij = 1 berarti keberhasilan (Walpole, 1992). Dengan demikian, dalam suatu percobaan binom banyaknya keberhasilan dapat dituliskan sebagai jumlah n peubah indikator yang bebas, sehingga


Nilai tengah (mean) setiap Ij adalah E(Ij) = 0.q + 1.p = p. Maka nilai tengah bagi distribusi binomial, adalah





Varian bagi setiap Ij adalah




Dengan demikian, varians sebaran binom adalah





Perhatikan bahwa mean disini tampak seperti langkah intuitif: dalam n percobaan Bernoulli, jumlah sukses yang diharapkan pastilah np. Variannya mengikuti fakta bahwa binomial adalah jumlah n percobaan Bernoulli yang independen dengan varian pq. Parameter distribusi binomial adalah n dan p. Distribusi, mean dan varian hanya tergantung pada dua nilai itu.
Standar deviasi (simpangan baku) distribusi binomial adalah


Koefisien momen pada kemencengan


Koefisien momen pada kurtosis



Ada kalanya perhitungan distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif P(X ≥ r) dinyatakan sebagai:



Seandainya dalam percobaan binom tersebut setiap ulangan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil, maka percobaan itu disebut percobaan multinom (Walpole, 1992). Misal, dalam percobaan pelemparan dua dadu, apakah dari kedua dadu muncul bilangan yang sama, total kedua bilangan sama dengan 7 atau 11, atau bukan keduanya. Bila ini yang diamati maka percobaan itu merupakan percobaan multinom. Pengambilan kartu dengan pemulihan juga merupakan percobaan multinom bila yang diamati adalah keempat macam kartu yang ada.
Secara umum, bila setiap ulangan dapat menghasilkan satu di antara k kemungkinan hasil percobaan E1, E2, ..., Ek, masing-masing dengan peluang p1, p2, ..., px, maka distribusi multinom memberikan peluang terjadinya x1 kali kejadian E1, x2¬ kali kejadian E2, ..., xk kali kejadian Ek dalam n ulangan yang bebas, dengan


Distribusi peluang bersama ini akan lambangkan dengan f(x1, x2, ..., xk; p1,p2, ..., pk, n). Jelaslah bahwa p1 + p2 + ... + pk = 1, karena hasil yang muncul dari setiap ulangan pastilah salah satu di antara k kemungkinan hasil. Distribusi multinom dapat diperoleh dengan menggandakan peluang untuk suatu urutan tertentu dengan banyaknya sekatan total. Sebaran multinom mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa suku-suku penguraian multinom (p1 + p2 + ... + pk)n berpandanan dengan semua kemungkinan nilai f(x1, x2, ..., xk; p1, p2, ..., pk, n).